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jueves, 18 de septiembre de 2014

Sucesiones infinitas de números reales

Las sucesiones infinitas de números reales son listas infinitas de números. Estrictamente hablando, una sucesión infinita es una función cuyo dominio es $\mathbb{N}$ y que toma valores reales.

A cada numero natural se le asigna un numero real mediante una cierta regla de correspondencia. Las sucesiones se denotan de la siguiente manera $\lbrace a_{n}\rbrace=\lbrace a_{1},a_{2,\ldots a_{n}}\rbrace$
donde $a_{1}$ es el valor que toma la función en el 1, y así sucesivamente. De manera que se puede expresar un termino genérico de la sucesión como $a_{n}$

Ejemplos de sucesiones son los siguientes
$\lbrace n\rbrace$ donde $\alpha_{n}=n$
$\lbrace (-1)^{n}$ donde $\beta_{n}=(-1)^{n}$
$\lbrace \frac{1}{n}\rbrace$ donde $\gamma_{n}=\frac{1}{n}$
Sea $\lbrace \delta_{n}\rbrace$ definida por $\delta_{n+1}=\delta_{n}+\delta_{n-1}$ donde $\delta_{1}=\delta_{2}=1$
Esta ultima sucesión se define mediante una regla de recurrencia

Ejercicio - Graficar las sucesiones anteriores.
Observar si las sucesiones anteriores se van acercando a un numero real en particular.

Si consideramos la ultima sucesión se puede construir una nueva
$\lbrace \omega_{n}\rbrace$ definida por $\omega_{n+1}=\frac{\delta_{n}}{\delta_{n-1}}$

Se puede demostrar que la sucesión $\lbrace \omega_{n}\rbrace$ se va aproximando al numero $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Se dice que la sucesión $\lbrace a_{n}\rbrace$ tiene limite en $L$ si para todo $\epsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que si $n>N$ se cumple $|a_{n}-L|<\epsilon$

Demostrar que la sucesión $\lbrace \gamma_{n}\rbrace$ converge a 0


Decimos que una sucesión diverge, si no converge.
Ejercicio

Demostrar que la sucesión $\lbrace \beta_{n}\rbrace$ diverge.





Basado en el Spivak