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jueves, 4 de septiembre de 2014

Por la libertad de escoger el dominio de una función

En este brevísimo post analizaremos el concepto de dominio. 
Recuerden que para definir una función se necesitan 3 ingredientes :
Dominio
Contradominio
Regla de correspondencia

Dos funciones son iguales si y solo si coinciden en el dominio, contradominio y la regla de correspondencia.

NOTA: No es lo mismo encontrar el dominio mas grande posible para una función, que calcular el dominio estrictamente definido a partir de una composición de funciones dadas. Hay que tomar esto en cuenta ya que muchas funciones se pueden expresar como composiciones de otras funciones,  y al reescribirlas,  el dominio a veces cambia! 

Ejemplo:
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{\tan^{2}x+1}}$ 
La regla de correspondencia de esta funcion esta dada por la expresion algebraica  $\frac{1}{\sqrt{\tan^{2}+1}}$  y se puede reexpresar como $\cos x$. Sin embargo la funcion f tiene como dominio $\mathbb{R}-\lbrace x\in\mathbb{R}, x\neq \frac{(2k+1)\pi}{2}\rbrace$, porque la tangente no esta definida en los puntos de la forma $\frac{(2k+1)\pi}{2}$.

En cambio la funcion $g(x)=\cos x$ tiene como dominio todo $\mathbb{R}$

En resumen, a pesar de que  $\frac{1}{\sqrt{\tan^{2}x+1}}=\cos x$, las funciones $f$ y $g$ NO son iguales, porque sus dominios no coinciden.

RECORDATORIO

Relación - Sean $A$ y $B$ conjuntos no vacíos, una relacion es un subconjunto $R\subset A\times B$
Ejemplo: Sean $A=\lbrace \text{x tal que x es alumno de la Facultad de Ciencias}\rbrace$, $B=\lbrace \text{ x tal que x es alumna de la Facultad de Ciencias}\rbtambién 
 y $R=\lbrace (a,b)\in A\times B \text{ tales que a es amigo de b}\rbrace$

Relaciones de equivalencia - Es una relación $R\subset A\times A$ que cumple con ser reflexiva, simétrica y transitiva. 

Ejemplo. Sea $A=\lbrace \text {x tal que x es mexicano} \rbrace$, $R=\lbrace (a,b)\in A\times A \text{ tales que a es hermano de b}\rbrace$

Función - Es una relación donde cada elemento del conjunto A se relaciona con uno y solo uno del conjunto B. La relacion se establece mediante una regla de correspondencia dada. 

El conjunto A se llama dominio de la funcion.
El conjunto B se llama contradominio de la funcion 

Dos funciones son iguales si y solo si coinciden en el dominio, contradominio y la regla de correspondencia. 

Def. Dadas dos funciones $f:A\rightarrow B$ y $g:C\rightarrow D$, donde $A,B,C,D\subset\mathbb{R}$,
Se define la composición de f con g, como la función
$h:g\circ f:E\rightarrow C$, $h(x)=g(f(x))$.

El dominio de la composicion, por definicion es el conjunto
$E=\lbrace x\in A \text{ tales que }f(x)\in C\rbrace$