Translate

lunes, 8 de septiembre de 2014

Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas en principio se definen como razones entre lados en triángulos rectángulos, sin embargo, así solo se pueden definir para ángulos agudos, porque los lados de los triángulos rectángulos solo pueden formar ángulos agudos. Para extender la definición del seno y coseno a cualquier ángulo, se considera en el plano cartesiano, un circulo unitario, y en el primer cuadrante se puede escoger un punto $P=(x,y)$ sobre el circulo,  al bajar una perpendicular al eje X se forma un triángulo rectángulo. La hipotenusa de ese triángulo es el vector que sale del origen al punto P.


Para extender las funciones seno y coseno a todos los números reales, se siguen los siguientes pasos:

1) Escoger un numero real $r\in\mathbb{R}$
2) Expresarlo como $r=2\pi k+\alpha$, de modo que $0\leq\alpha<2\pi$. Observen que $\alpha$ es el ángulo que representa a la misma apertura que $r$.
3) A esa apertura le corresponde un único vector unitario $(u,v)$, y se definen
$\cos r=u$ y $\sin r=v$



De este modo las funciones seno y coseno quedan definidas para todos los números reales.

Observen que $\cos r=u\cos\alpha$ y $\sin r=v=\sin \alpha$
La periodicidad de las funciones seno y coseno provienen directamente de la definición. A partir de ellas se definen las siguientes funciones

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$  $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$
$\sec x=\frac{1}{\cos x}$ y $\csc x=\frac{1}{\sin x}$

NOTA. Las funciones tangente y secante no están definidas en los puntos donde se anula el coseno que son todos los de la forma $\frac{(2k+1)\pi}{2}$ donde $k$ es cualquier numero entero. Y las funciones cotangente y cosecante no están definidas en los puntos donde se anula el seno, que son los de la forma $2k\pi$ donde $k$ es cualquier numero entero.


Se pueden demostrar las siguientes identidades trigonométricas
El coseno es una función par $\cos (-x)=\cos(x)$
El seno es una función impar $\sin (-x)=-\sin(x)$
$\sin x=\cos (x-\pi)$
$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$
$\sec^{2}x-\tan^{2}x=1$
$\cos(x+y)=\cos x \cos y- \sin x\sin y$
$\sin(x+y)=\cos x\sin y+\cos y \sin x$

Graficas de las funciones trigonométricas

CURIOSIDAD Las funciones trigonométricas también se pueden definir a partir de ecuaciones diferenciales.

Consideremos la ecuación

$y''+y=0$
Se puede demostrar que la solución general de esta ecuación diferencial es un espacio vectorial de dimensión 2. Una base de este espacio es el conjunto $\lbrace \sin x, \cos x\rbrace$