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viernes, 26 de septiembre de 2014

Convergencia de sucesiones.

La ultima clase vimos que significa que una sucesión tienda a infinito. Aquí va la definición.

Def. Decimos que la sucesión $\lbrace a_{n}\rbrace$ tiende a infinito $lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty$ si para todo $M>0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que si $n>N$ entonces $a_{n}>M$

Como ejemplo analizamos la sucesión de Fibonacci
$\lbrace a_{n}\rbrace=\lbrace 1,1,2,3,5,8,13,\ldots\rbrace$ donde $a_{n+1}=a_{n}+a_{n-1}$

Esta sucesión tiende a infinito y se puede comparar con la sucesión $\lbrace 1,2,3,\ldots\rbrace$ a la que mayora a partir de $n=6$ .

Usando la sucesión de Fibonacci se puede construir una sucesión convergente
$\lbrace b_{n}\rbrace$ donde $b_{n+1}=\frac{a_{n+1}}{a_{n}}$, esta ultima sucesión converge al numero de oro $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Teorema. Cualquier sucesion no decreciente y acotada superiormente converge.
Demostracion
Sea $\lbrace a_{n}\rbrace$ una sucesion no decreciente y acotada superiormente. Entonces por ser un subconjunto de los numeros reales acotado superiormente tiene supremo. Sea $\alpha=\mathrm{Sup}\lbrace a_{n}\rbrace$. Demostraremos que la sucesion converge a $\alpha$.Sea $\epsilon>0$, por la propiedad del supremo, existe ,$N\in\mathbb{N}$ tal que $\alpha-\epsilon<a_{N}<\alpha$, pero como la sucesion es no decreciente, tenemos $\alpha-\epsilon<a_{N}\leq a_{N+1}\leq a_{N+2}\leq\ldots$

Asi que para todo $n>N$ se cumple $\alpha-a_{n}<\epsilon$
Fin de la demostracion

viernes, 19 de septiembre de 2014

jueves, 18 de septiembre de 2014

La conferencia de relatividad y agujeros negros

Buenas noches, en este post les comparto las notas que pude tomar de la conferencia del Dr.  Alcubierre sobre relatividad y agujeros negros. 














Sucesiones infinitas de números reales

Las sucesiones infinitas de números reales son listas infinitas de números. Estrictamente hablando, una sucesión infinita es una función cuyo dominio es $\mathbb{N}$ y que toma valores reales.

A cada numero natural se le asigna un numero real mediante una cierta regla de correspondencia. Las sucesiones se denotan de la siguiente manera $\lbrace a_{n}\rbrace=\lbrace a_{1},a_{2,\ldots a_{n}}\rbrace$
donde $a_{1}$ es el valor que toma la función en el 1, y así sucesivamente. De manera que se puede expresar un termino genérico de la sucesión como $a_{n}$

Ejemplos de sucesiones son los siguientes
$\lbrace n\rbrace$ donde $\alpha_{n}=n$
$\lbrace (-1)^{n}$ donde $\beta_{n}=(-1)^{n}$
$\lbrace \frac{1}{n}\rbrace$ donde $\gamma_{n}=\frac{1}{n}$
Sea $\lbrace \delta_{n}\rbrace$ definida por $\delta_{n+1}=\delta_{n}+\delta_{n-1}$ donde $\delta_{1}=\delta_{2}=1$
Esta ultima sucesión se define mediante una regla de recurrencia

Ejercicio - Graficar las sucesiones anteriores.
Observar si las sucesiones anteriores se van acercando a un numero real en particular.

Si consideramos la ultima sucesión se puede construir una nueva
$\lbrace \omega_{n}\rbrace$ definida por $\omega_{n+1}=\frac{\delta_{n}}{\delta_{n-1}}$

Se puede demostrar que la sucesión $\lbrace \omega_{n}\rbrace$ se va aproximando al numero $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

Se dice que la sucesión $\lbrace a_{n}\rbrace$ tiene limite en $L$ si para todo $\epsilon>0$ existe $N\in\mathbb{N}$ tal que si $n>N$ se cumple $|a_{n}-L|<\epsilon$

Demostrar que la sucesión $\lbrace \gamma_{n}\rbrace$ converge a 0


Decimos que una sucesión diverge, si no converge.
Ejercicio

Demostrar que la sucesión $\lbrace \beta_{n}\rbrace$ diverge.





Basado en el Spivak

lunes, 8 de septiembre de 2014

Funciones Trigonométricas

Las funciones trigonométricas en principio se definen como razones entre lados en triángulos rectángulos, sin embargo, así solo se pueden definir para ángulos agudos, porque los lados de los triángulos rectángulos solo pueden formar ángulos agudos. Para extender la definición del seno y coseno a cualquier ángulo, se considera en el plano cartesiano, un circulo unitario, y en el primer cuadrante se puede escoger un punto $P=(x,y)$ sobre el circulo,  al bajar una perpendicular al eje X se forma un triángulo rectángulo. La hipotenusa de ese triángulo es el vector que sale del origen al punto P.


Para extender las funciones seno y coseno a todos los números reales, se siguen los siguientes pasos:

1) Escoger un numero real $r\in\mathbb{R}$
2) Expresarlo como $r=2\pi k+\alpha$, de modo que $0\leq\alpha<2\pi$. Observen que $\alpha$ es el ángulo que representa a la misma apertura que $r$.
3) A esa apertura le corresponde un único vector unitario $(u,v)$, y se definen
$\cos r=u$ y $\sin r=v$



De este modo las funciones seno y coseno quedan definidas para todos los números reales.

Observen que $\cos r=u\cos\alpha$ y $\sin r=v=\sin \alpha$
La periodicidad de las funciones seno y coseno provienen directamente de la definición. A partir de ellas se definen las siguientes funciones

$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$  $\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$
$\sec x=\frac{1}{\cos x}$ y $\csc x=\frac{1}{\sin x}$

NOTA. Las funciones tangente y secante no están definidas en los puntos donde se anula el coseno que son todos los de la forma $\frac{(2k+1)\pi}{2}$ donde $k$ es cualquier numero entero. Y las funciones cotangente y cosecante no están definidas en los puntos donde se anula el seno, que son los de la forma $2k\pi$ donde $k$ es cualquier numero entero.


Se pueden demostrar las siguientes identidades trigonométricas
El coseno es una función par $\cos (-x)=\cos(x)$
El seno es una función impar $\sin (-x)=-\sin(x)$
$\sin x=\cos (x-\pi)$
$\sin^{2}x+\cos^{2}x=1$
$\sec^{2}x-\tan^{2}x=1$
$\cos(x+y)=\cos x \cos y- \sin x\sin y$
$\sin(x+y)=\cos x\sin y+\cos y \sin x$

Graficas de las funciones trigonométricas

CURIOSIDAD Las funciones trigonométricas también se pueden definir a partir de ecuaciones diferenciales.

Consideremos la ecuación

$y''+y=0$
Se puede demostrar que la solución general de esta ecuación diferencial es un espacio vectorial de dimensión 2. Una base de este espacio es el conjunto $\lbrace \sin x, \cos x\rbrace$


jueves, 4 de septiembre de 2014

Por la libertad de escoger el dominio de una función

En este brevísimo post analizaremos el concepto de dominio. 
Recuerden que para definir una función se necesitan 3 ingredientes :
Dominio
Contradominio
Regla de correspondencia

Dos funciones son iguales si y solo si coinciden en el dominio, contradominio y la regla de correspondencia.

NOTA: No es lo mismo encontrar el dominio mas grande posible para una función, que calcular el dominio estrictamente definido a partir de una composición de funciones dadas. Hay que tomar esto en cuenta ya que muchas funciones se pueden expresar como composiciones de otras funciones,  y al reescribirlas,  el dominio a veces cambia! 

Ejemplo:
$f(x)=\frac{1}{\sqrt{\tan^{2}x+1}}$ 
La regla de correspondencia de esta funcion esta dada por la expresion algebraica  $\frac{1}{\sqrt{\tan^{2}+1}}$  y se puede reexpresar como $\cos x$. Sin embargo la funcion f tiene como dominio $\mathbb{R}-\lbrace x\in\mathbb{R}, x\neq \frac{(2k+1)\pi}{2}\rbrace$, porque la tangente no esta definida en los puntos de la forma $\frac{(2k+1)\pi}{2}$.

En cambio la funcion $g(x)=\cos x$ tiene como dominio todo $\mathbb{R}$

En resumen, a pesar de que  $\frac{1}{\sqrt{\tan^{2}x+1}}=\cos x$, las funciones $f$ y $g$ NO son iguales, porque sus dominios no coinciden.

RECORDATORIO

Relación - Sean $A$ y $B$ conjuntos no vacíos, una relacion es un subconjunto $R\subset A\times B$
Ejemplo: Sean $A=\lbrace \text{x tal que x es alumno de la Facultad de Ciencias}\rbrace$, $B=\lbrace \text{ x tal que x es alumna de la Facultad de Ciencias}\rbtambién 
 y $R=\lbrace (a,b)\in A\times B \text{ tales que a es amigo de b}\rbrace$

Relaciones de equivalencia - Es una relación $R\subset A\times A$ que cumple con ser reflexiva, simétrica y transitiva. 

Ejemplo. Sea $A=\lbrace \text {x tal que x es mexicano} \rbrace$, $R=\lbrace (a,b)\in A\times A \text{ tales que a es hermano de b}\rbrace$

Función - Es una relación donde cada elemento del conjunto A se relaciona con uno y solo uno del conjunto B. La relacion se establece mediante una regla de correspondencia dada. 

El conjunto A se llama dominio de la funcion.
El conjunto B se llama contradominio de la funcion 

Dos funciones son iguales si y solo si coinciden en el dominio, contradominio y la regla de correspondencia. 

Def. Dadas dos funciones $f:A\rightarrow B$ y $g:C\rightarrow D$, donde $A,B,C,D\subset\mathbb{R}$,
Se define la composición de f con g, como la función
$h:g\circ f:E\rightarrow C$, $h(x)=g(f(x))$.

El dominio de la composicion, por definicion es el conjunto
$E=\lbrace x\in A \text{ tales que }f(x)\in C\rbrace$